MathSyolica: 
Last-passage Algorithm Development

Chi-Ok Hwang, Gwangju Institute of Science and Technology in South Korea

(RowDefault[, (Spacer1), , (Spacer1), ])  #WolframTechConf

ABSTRACT

Using MathSybolica based on Mathematica, it is very easy to develop the Last-passage Green’s functions from on simple geometries (flat surface) to on complicated  geometries (off-centered flat surface, Qudrupole and Octupole).

Probabilistic Potential Theory

Theorem 1: Feynman-Kac formula

Centered dipole problem

At the center

<<InitPackages`

The coordinate using spherical coordinates r,θ,ϕ

(OverVector[r])==CoordinateTransform["Spherical"->"Cartesian",{r,θ,ϕ}]

The potential

The derivative evaluated at ϵ=0

At (0,0, 0)

(*  R is the radius of the circular disk and a the location of the dipole charge  *)
Clear["Global`*"]   
V==(1/(4π))((1/(\[LeftDoubleBracketingBar](OverVector[r])-ϵ (OverHat[z])\[RightDoubleBracketingBar]))-(1/(\[LeftDoubleBracketingBar](OverVector[r])+ϵ (OverHat[z])\[RightDoubleBracketingBar]))+((R/ϵ)/(\[LeftDoubleBracketingBar](OverVector[r])+(R^2)/ϵ(OverHat[z])\[RightDoubleBracketingBar]))-((R/ϵ)/(\[LeftDoubleBracketingBar](OverVector[r])-(R^2)/ϵ(OverHat[z])\[RightDoubleBracketingBar])))
SCMAF[%,RA,{At[2],{(OverVector[r])=={r Cos[ϕ] Sin[θ],r Sin[θ] Sin[ϕ],r Cos[θ]},(OverHat[x])=={1,0,0},(OverHat[z])=={0,0,1}}},Post->{Simplify,SCRemAbs}]

The derivative evaluated at ϵ=0

SCARA[(Subscript[((((∂^2)V)/(∂ϵ∂r))), ϵ==0]),V==(1/(4 π)) (-(R/( (Sqrt[(ϵ^2)(r^2)+(R^4)-2 r (R^2) ϵ Cos[θ]])))+(R/( (Sqrt[(ϵ^2)(r^2)+(R^4)+2 r (R^2) ϵ Cos[θ]])))+(1/(Sqrt[(r^2)+(ϵ^2)-2 r ϵ Cos[θ]]))-(1/(Sqrt[(r^2)+(ϵ^2)+2 r ϵ Cos[θ]])))]
SCMAF[%,SCEvalDeriv,At[2],Post->{PowerExpand,SCEvalEqSub},Post-> Simplify,RA,{At[2],r==R},Post->PowerExpand,Post-> Simplify]

Off-centered dipole problem

At (a,0,0)

(*  R is the radius of the circular disk and a the location of the dipole charge  *)
Clear["Global`*"]   
V==(1/(4π))(((1/(\[LeftDoubleBracketingBar](OverVector[r])-((Subscript[R, 2])(OverHat[x])+ϵ (OverHat[z]))\[RightDoubleBracketingBar]))-(1/(\[LeftDoubleBracketingBar](OverVector[r])-((Subscript[R, 2])(OverHat[x])-ϵ (OverHat[z]))\[RightDoubleBracketingBar])))+(-(((Subscript[R, 1])√(((Subscript[R, 2])^2)+(ϵ^2)))/(\[LeftDoubleBracketingBar](((Subscript[R, 2])^2)+(ϵ^2))(OverVector[r])-((Subscript[R, 2])((Subscript[R, 1])^2)(OverHat[x])+ ϵ((Subscript[R, 1])^2)(OverHat[z]))\[RightDoubleBracketingBar]))+(((Subscript[R, 1])√(((Subscript[R, 2])^2)+(ϵ^2)))/(\[LeftDoubleBracketingBar](((Subscript[R, 2])^2)+(ϵ^2))(OverVector[r])-((Subscript[R, 2])((Subscript[R, 1])^2)(OverHat[x])- ϵ((Subscript[R, 1])^2)(OverHat[z]))\[RightDoubleBracketingBar]))))
SCMAF[%,RA,{At[2],{(OverVector[r])=={r Cos[ϕ] Sin[θ],r Sin[θ] Sin[ϕ],r Cos[θ]},(OverHat[x])=={1,0,0},(OverHat[z])=={0,0,1}}},Post->{Simplify,SCRemAbs}]

Clear["Global`*"]  
(Subscript[((((∂^2)V)/(∂r∂ϵ))), ϵ==0])==((Cos[θ] (Subscript[R, 1]^2))/(2 π)) (-((3 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]^4) (Subscript[R, 2]))/((((Subscript[R, 1]^2) ((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2))))^(5/2)))+((3 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]^3) (Subscript[R, 2]))/((((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]^3) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2)))^(5/2)))+((-2 (Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]^3) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2))/((((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]^3) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2)))^(5/2)))+(((Subscript[R, 1]^3) (-(Subscript[R, 1]^2)+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+2 (Subscript[R, 2]^2)))/((((Subscript[R, 1]^2) ((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2))))^(5/2))))
SCMAF[%,RA,{At[2],(Subscript[R, 1])==1},Post-> Simplify]

Clear["Global`*"]   
SCARA[(Subscript[((((∂^2)V)/(∂ϵ∂r))), ϵ==0]),V==(1/(4 π)) ((1/(Sqrt[(r^2)+(ϵ^2)-2 r ϵ Cos[θ]-2 r Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2)]))-(1/(Sqrt[(r^2)+(ϵ^2)+2 r ϵ Cos[θ]-2 r Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2)]))+(Subscript[R, 1]) (((Sqrt[(ϵ^2)+(Subscript[R, 2]^2)])/(Sqrt[((ϵ^2)+(Subscript[R, 2]^2)) ((Subscript[R, 1]^4)+2 r (Subscript[R, 1]^2) (ϵ Cos[θ]-Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 2]))+(r^2) ((ϵ^2)+(Subscript[R, 2]^2)))]))-((Sqrt[(ϵ^2)+(Subscript[R, 2]^2)])/(Sqrt[((ϵ^2)+(Subscript[R, 2]^2)) ((Subscript[R, 1]^4)-2 r (Subscript[R, 1]^2) (ϵ Cos[θ]+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 2]))+(r^2) ((ϵ^2)+(Subscript[R, 2]^2)))]))))]
SCMAF[%,SCEvalDeriv,At[2],Post->{PowerExpand,SCEvalEqSub},Post-> Simplify,RA,{At[2],r==(Subscript[R, 1])},Post->PowerExpand,At[2],Post -> Simplify,{(Subscript[R, 1 ])>0, (Subscript[R, 2]) >0},RA,{At[2],(Subscript[R, 2])==0},Post -> Simplify, {(Subscript[R, 1 ])>0}]

Clear["Global`*"]   
Simplify[((Cos[θ])/(2 π)) (((-2 (Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2))/((((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2)))^(5/2)))+((3 (Subscript[R, 1]^5) (Subscript[R, 2]^2))/((((Subscript[R, 1]^2) ((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2))))^(5/2)))-((Subscript[R, 1]^3)/((((Subscript[R, 1]^2) ((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2))))^(3/2)))+3 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2]) ((1/((((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2)))^(5/2)))-((Subscript[R, 1]^5)/((((Subscript[R, 1]^2) ((Subscript[R, 1]^2)-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1]) (Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 2]^2))))^(5/2))))),{(Subscript[R, 1 ])>0, (Subscript[R, 2]) >0}]
SCMAF[%,RA,{All,(Subscript[R, 2])==0},Post -> Simplify, {(Subscript[R, 1 ])>0}]

Quadrupole problem

(* Inside + Outside  *)
Clear["Global`*"]
(Subscript[V, 1])=(1/(4 π)) ((1/(Sqrt[(((ϵ-r Cos[θ]))^2)+(((-r Cos[ϕ] Sin[θ]+(Subscript[R, 1])))^2)+(((-r Sin[θ] Sin[ϕ]+(Subscript[R, 2])))^2)]))-(1/(Sqrt[(((ϵ+r Cos[θ]))^2)+(((-r Cos[ϕ] Sin[θ]+(Subscript[R, 1])))^2)+(((-r Sin[θ] Sin[ϕ]+(Subscript[R, 2])))^2)]))-(1/(Sqrt[(((ϵ-r Cos[θ]))^2)+(((r Cos[ϕ] Sin[θ]+(Subscript[R, 1])))^2)+(((-r Sin[θ] Sin[ϕ]+(Subscript[R, 2])))^2)]))+(1/(Sqrt[(((ϵ+r Cos[θ]))^2)+(((r Cos[ϕ] Sin[θ]+(Subscript[R, 1])))^2)+(((-r Sin[θ] Sin[ϕ]+(Subscript[R, 2])))^2)])));
(Subscript[V, 2])=((R )/(4 π)) (-(1/(Sqrt[ ((R^4)+(r^2) (ϵ^2)-2 r (R^2) ϵ Cos[θ]-2 r (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1])+(r^2) (Subscript[R, 1]^2)-2 r (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[R, 2])+(r^2) (Subscript[R, 2]^2))]))+(1/(Sqrt[ ((R^4)+(r^2) (ϵ^2)+2 r (R^2) ϵ Cos[θ]-2 r (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1])+(r^2) (Subscript[R, 1]^2)-2 r (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[R, 2])+(r^2) (Subscript[R, 2]^2))]))+(1/(Sqrt[ ((R^4)+(r^2) (ϵ^2)-2 r (R^2) ϵ Cos[θ]+2 r (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1])+(r^2) (Subscript[R, 1]^2)-2 r (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[R, 2])+(r^2) (Subscript[R, 2]^2))]))-(1/(Sqrt[ ((R^4)+(r^2) (ϵ^2)+2 r (R^2) ϵ Cos[θ]+2 r (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[R, 1])+(r^2) (Subscript[R, 1]^2)-2 r (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[R, 2])+(r^2) (Subscript[R, 2]^2))])));
SCARA[(Subscript[((((∂^2)V)/(∂ϵ∂r))), ϵ==0]),V==((Subscript[V, 1])+(Subscript[V, 2]))]
SCMAF[%,SCEvalDeriv,At[2],Post->{PowerExpand,SCEvalEqSub},Post-> Simplify]
SCMAF[%,RA,{At[2],r==R},Post->PowerExpand,Post-> Simplify]
SCMAF[%,RA,{At[2],{(Subscript[R, 1])==(Subscript[γ, 1]) R,(Subscript[R, 2])==(Subscript[γ, 2]) R}}]

Clear["Global`*"]  
Simplify[((Cos[θ])/(4 π)) (((6 R (-R+R Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+R Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])))/((((R^2)-2 (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)-2 (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(R^2) (Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2)))+(2/((((R^2)-2 (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)-2 (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(R^2) (Subscript[γ, 2]^2)))^(3/2))))]

Clear["Global`*"]  
Simplify[((Cos[θ])/(4 π))(((6 R (R+R Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-R Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])))/((((R^2)+2 (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)-2 (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(R^2) (Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2)))-(2/((((R^2)+2 (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)-2 (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(R^2) (Subscript[γ, 2]^2)))^(3/2))))]

Clear["Global`*"]  
Simplify[((Cos[θ])/(4 π))(R^3) (-(2/((((R^2) ((R^2)-2 (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)-2 (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(R^2) (Subscript[γ, 2]^2))))^(3/2)))+((6 (R^2) (-(R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)+R (Subscript[γ, 2]) (-R Sin[θ] Sin[ϕ]+R (Subscript[γ, 2]))))/((((R^2) ((R^2)-2 (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)-2 (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(R^2) (Subscript[γ, 2]^2))))^(5/2))))]

Clear["Global`*"]  
Simplify[((Cos[θ])/(4 π))(R^3) ((2/((((R^2) ((R^2)+2 (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)-2 (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(R^2) (Subscript[γ, 2]^2))))^(3/2)))-((6 (R^2) ((R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)+R (Subscript[γ, 2]) (-R Sin[θ] Sin[ϕ]+R (Subscript[γ, 2]))))/((((R^2) ((R^2)+2 (R^2) Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(R^2) (Subscript[γ, 1]^2)-2 (R^2) Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(R^2) (Subscript[γ, 2]^2))))^(5/2))))]

(Cos[θ] (-2+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)+Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))/(2 π (R^2) (Sqrt[-(R^2) (-1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-(Subscript[γ, 1]^2)+2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])-(Subscript[γ, 2]^2))]) (((1-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^2))=((Cos[θ])/(2 π (R^3)))(( (-2+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)+Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))/(  (((1-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))
(((R^2) Cos[θ] (2+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-(Subscript[γ, 1]^2)-Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])-(Subscript[γ, 2]^2)))/(2 π ((((R^2) (1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2))))^(5/2))))=((Cos[θ])/(2 π (R^3)))(( (2+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-(Subscript[γ, 1]^2)-Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])-(Subscript[γ, 2]^2)))/( (((1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))
-((Cos[θ] (1+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-2 (Subscript[γ, 1]^2)+Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])-2 (Subscript[γ, 2]^2)))/(2 π R (Sqrt[-(R^4) (-1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-(Subscript[γ, 1]^2)+2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])-(Subscript[γ, 2]^2))]) (((1-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^2)))=-((Cos[θ])/(2 π (R^3)))(( (1+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-2 (Subscript[γ, 1]^2)+Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])-2 (Subscript[γ, 2]^2)))/(((1-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2)))
-(((R^7) Cos[θ] (-1+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+2 (Subscript[γ, 1]^2)-Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+2 (Subscript[γ, 2]^2)))/(2 π ((((R^4) (1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2))))^(5/2))))=-((Cos[θ])/(2 π (R^3)))(( (-1+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+2 (Subscript[γ, 1]^2)-Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+2 (Subscript[γ, 2]^2)))/( (((1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))

Clear["Global`*"]  
Simplify[((Cos[θ] )/(2 π (R^3)))((( (-2+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)+Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))/(  (((1-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))-(( (1+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-2 (Subscript[γ, 1]^2)+Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])-2 (Subscript[γ, 2]^2)))/(((1-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))]

Clear["Global`*"]  
Simplify[((Cos[θ] )/(2 π (R^3)))((( (2+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])-(Subscript[γ, 1]^2)-Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])-(Subscript[γ, 2]^2)))/( (((1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))-(( (-1+Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+2 (Subscript[γ, 1]^2)-Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+2 (Subscript[γ, 2]^2)))/( (((1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2)))))]

Clear["Global`*"]  
V== ((3 Cos[θ])/(2 π (R^3)))((( (-1+(Subscript[γ, 1]^2)+(Subscript[γ, 2]^2)))/( (((1-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))-(((-1+(Subscript[γ, 1]^2)+(Subscript[γ, 2]^2)))/(((1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))

At ((Subscript[R, 1]),0,0)

Clear["Global`*"]  
V== ((3 Cos[θ])/(2 π (R^3)))((( (-1+(Subscript[γ, 1]^2)+(Subscript[γ, 2]^2)))/( (((1-2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))))-(((-1+(Subscript[γ, 1]^2)+(Subscript[γ, 2]^2)))/(((1+2 Cos[ϕ] Sin[θ] (Subscript[γ, 1])+(Subscript[γ, 1]^2)-2 Sin[θ] Sin[ϕ] (Subscript[γ, 2])+(Subscript[γ, 2]^2)))^(5/2))));
SCMAF[%,RA,{At[2],{(Subscript[γ, 1])==γ,(Subscript[γ, 2])==0}}]

Octupole problem