Tensor Analysis and Applications

Youngjoo Chung, GIST, Korea

(RowDefault[, (Spacer1), , (Spacer1), ])  #WolframTechConf

ABSTRACT

Tensors are used in various areas of mathematics and physics, particularly in theoretical calculations involving fields in vector spaces. The Einstein’s summation convention implies summation over the dummy indices that appear twice in a term as in matrix-matrix or matrix-vector products. Using this convention simplifies the notation and complicated formulae in multi-dimensional spaces can be written in compact form. This, however, poses a challenge for a general-purpose computer algebra systems since, for example, different indices need to be treated equally by automatically generating substitute variables. This presentation will show the usage of MathSymbolica for tensor analysis, an add-on package that facilitates symbolic computation in Mathematica. It contains over 1,000 functions and its own interpreter language for notation, manipulation and evaluation of various mathematical expressions. Several functions have been added recently for tensor analysis and the features include notation and handling of various types of derivatives, subscripts, superscripts as well as canonicalization of the indices while taking into account the symmetry and antisymmetry. Examples of application will be shown in selected topics of differential geometry, electrodynamics and general relativity.

Loading the Package

<<SymbolicComputing`

MathSymbolica: Symbolic Computing (SC) Package

Overview

Mathematica add-on package that facilitates symbolic computation with mathematical expressions
Over 1,000 functions and own programming language
Display and interpretation of various mathematical expressions like derivatives, integrals, sums, vector operators, brakets, etc. using the traditional notation

Author

Youngjoo Chung
Professor
School of Electrical Engineering and Computer Science
Gwangju Institute of Science and Technology (GIST), Korea
E-mail: ychung@gist.ac.kr
Homepage: http://symbcomp.gist.ac.kr

Keywords

Notation,
Manipulation and
Evaluation
of Mathematical Expressions

Motivation

To design and implement a symbolic computing system based on Mathematica that can manipulate various mathematical expressions using traditional notation and deferred on-demand evaluation

Objective

To replace hand-written calculation with symbolic computation and software-based automation

Features

Allows traditional notation for various mathematical expressions
Algebraic manipulation of formulas using symbolic computation
Seamless integration with the computing environment of Mathematica
Powerful platform for streamlined manipulation of mathematical expressions

Sequential Execution of Functions

SCMAF function and navigation using the SCMAF Viewer palette

Sequential Execution of Functions

Extended Composition of Functions

Seamless integration with the computing environment of Mathematica
Selective targeting of the objects to apply functions

Advantages

Close emulation of hand-written calculation
Allows focusing on concepts and principles rather than tedious, boring, time-consuming and error-prone hand-written calculation
Good readability, enhanced speed and accuracy, and minimization of human errors during calculation
Expressions that closely resemble the traditional mathematical style, e.g., subscripts, derivatives and vector operators

Brief History

2002. 04: Development started as MiscAlgebra Package (MP)
2007. 11: Presented at the First Korean Mathematica Users Conference
	“Advanced Formula Manipulation Using Symbolic Computing”
2011. 08: Renamed to Symbolic Computing (SC) Package
2011. 10: Presented at Wolfram Technology Conference 2011
	“Symbolic Computing Package and Its Application to Mathematical Physics”
2012. 02: Version 1.0 beta release after the lecture at Mathematics Dept of Korea University
2012. 04: Version 2.0 beta
2014. 12: Version 3.0 beta
2015. 10: Version 3.1 beta
2016. 06: Version 4.0 beta
2017. 10: Presented at Wolfram Technology Conference 2017
	“Mathematics of Series with the Symbolic Computing Package”
2017. 12: Version 4.1 commercial release
2018. 06: Version 5.0 release
2019. 06: Version 5.1 release
2019. 11: Version 5.1.3 release (November 20, 2019)
2021. 01: Version 6.0.0 release
2021. 06: The latest release 6.0.2 (June 28, 2021)

Wolfram Innovator Award 2017

Help for the Symbolic Computing Package

The on-line help for the package is available. It contains documentation of the package functions and examples of the usage of the functions.
The help browser can be opened by clicking Help in the “Symbolic Computing” palette (Palettes menu -> Symbolic Computing). The Help link is also available in the “SCMAF Viewer” palette.

New Features in Recent Releases

Number of functions

Version 5.1.3 (November 20, 2019) : 905
Version 6.0.0 (January 24, 2021) : 992
Version 6.0.2 (June 28, 2021) : 1,006

References

G. B. Arfken, H. J. Weber, “Mathematical Methods for Physicists,” 6th ed., Elsevier, 2005.
K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence, “Mathematical Methods for Physics and Engineering,” 3rd ed., Cambridge University Press, 2006.
J. D. Jackson, “Classical Electrodynamics,” 3rd ed., Wiley, 1999.
S. Weinberg, “Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity,” Wiley, 1972.
I. Cho, J. O. Gong, and S. H. Oh, “Second-order effective energy-momentum tensor of gravitational scalar perturbations with perfect fluid,” Phys. Rev. D, vol. 102, 043531, 2020.

Notation

Tensors

Rank 0 (Scalars)

φ: elelectric potential
ρ: charge density
u: field energy density

Rank 1 (Vectors)

(Subscript[V, i]): covariant
(V^i): contravariant

Rank 2 (Matrices) and Higher

(Subscript[A, i j]), (Subscript[A, i j k  ]): covariant
(A^(i j)), (A^(i j k)): contravariant
(Subscript[A, i])(^j), (A^i)(Subscript[, j]), (Subscript[A, i]^j), (Subscript[A, i])(^(j k)), (A^i)(Subscript[, j k]), (Subscript[A, i j]^k): mixed

Partial Derivatives

Traditional Form

((∂φ)/(∂(x^i))),    (((∂^2)φ)/(∂(x^i)∂(x^j))),    ((∂(V^i))/(∂(x^j)))

{((∂φ)/(∂(x^i))),(((∂^2)φ)/(∂(x^i)∂(x^j))),((∂(V^i))/(∂(x^j)))}

Comma (,)

(Subscript[φ, ,i])≡((∂φ)/(∂(x^i))),    (Subscript[φ, ,i j])≡(((∂^2)φ)/(∂(x^i)∂(x^j))),    (Subscript[(V^i), ,j])≡((∂(V^i))/(∂(x^j)))

{(Subscript[φ, \[Null],i])≡((∂φ)/(∂(x^i))),(Subscript[φ, \[Null],i,j])≡(((∂^2)φ)/(∂(x^i)∂(x^j))),(Subscript[(V^i), \[Null],j])≡((∂(V^i))/(∂(x^j)))}

PartialD (∂)

(∂_i)φ≡((∂φ)/(∂(x^i))),    (∂_(i j))φ≡(((∂^2)φ)/(∂(x^i)∂(x^j))),    (∂_j)(V^i)≡((∂(V^i))/(∂(x^j)))

{(∂_i)φ≡((∂φ)/(∂(x^i))),(∂_(i,j))φ≡(((∂^2)φ)/(∂(x^i)∂(x^j))),(∂_j)(V^i)≡((∂(V^i))/(∂(x^j)))}

Covariant Derivatives

Semicolon (;)

(Subscript[(V^i), ;j])≡(Subscript[(V^i), ,j])+(Subscript[Γ, k j]^i) (V^k)=((∂(V^i))/(∂(x^j)))+(Subscript[Γ, k j]^i) (V^k)
(Subscript[(T^(i j)), ;s])≡(Subscript[(T^(i j)), ,s])+(Subscript[Γ, k s]^i) (T^(k j))+(Subscript[Γ, k s]^j) (T^(i k))=((∂(T^(i j)))/(∂(x^s)))+(Subscript[Γ, k s]^i) (T^(k j))+(Subscript[Γ, k s]^j) (T^(i k))

{(Subscript[(V^i), \[Null];j])==(Subscript[(V^i), \[Null],j])+(Subscript[Γ, k,j]^i) (V^k)==((∂(V^i))/(∂(x^j)))+(Subscript[Γ, k,j]^i) (V^k),(Subscript[(T^(i,j)), \[Null];s])==(Subscript[(T^(i,j)), \[Null],s])+(Subscript[Γ, k,s]^i) (T^(k,j))+(Subscript[Γ, k,s]^j) (T^(i,k))==((∂(T^(i,j)))/(∂(x^s)))+(Subscript[Γ, k,s]^i) (T^(k,j))+(Subscript[Γ, k,s]^j) (T^(i,k))}

Nabla (∇)

(Subscript[∇, j])(V^i)≡(Subscript[(V^i), ;j])
(Subscript[∇, s])(T^(i j))≡(Subscript[(T^(i j)), ;s])

{(Subscript[∇, j])(V^i)≡(Subscript[(V^i), \[Null];j]),(Subscript[∇, s])(T^(i,j))≡(Subscript[(T^(i,j)), \[Null];s])}

Conversions

(Subscript[φ, ,i]) ⟷ ((∂φ)/(∂(x^i)))

SCFromPartialComma[{(Subscript[φ, \[Null],i]),(Subscript[φ, \[Null],i,j]),(Subscript[(V^i), \[Null],j])},x]
SCToPartialComma[%,x]

(Subscript[φ, ,i]) ⟷ (∂_i)φ

SCFromPartialComma[{(Subscript[φ, \[Null],i]),(Subscript[φ, \[Null],i,j]),(Subscript[(V^i), \[Null],j])}]
SCToPartialComma[%]

(∂_i)φ ⟷ ((∂φ)/(∂(x^i)))

SCFromPartialD[{(∂_i)φ,(∂_(i,j))φ,(∂_j)(V^i)},x]
SCToPartialD[%,x]

(Subscript[(Subscript[V, i]), ;j]) ⟷ (Subscript[∇, j])(Subscript[V, i])

SCFromCovarSemicolon[{(Subscript[(Subscript[V, i]), \[Null];j]),(Subscript[(Subscript[V, i]), \[Null];j,k]),(Subscript[(V^i), \[Null];j])}]
SCToCovarSemicolon[%]

Expansion

(Subscript[(V^i), \[Null];j])==SCFromCovarDeriv[(Subscript[(V^i), \[Null];j]),V,k]==SCFromCovarDeriv[(Subscript[(V^i), \[Null];j]),V,k,Partial->x]

(Subscript[∇, s])(T^(i,j))==SCFromCovarD[(Subscript[∇, s])(T^(i,j)),T,k]==SCFromCovarD[(Subscript[∇, s])(T^(i,j)),T,k,Partial->x]

Summation Convention

Einstein’s summation convention for dummy indices

(Subscript[a, i i])≡(∑_i)(Subscript[a, i i]),    (Subscript[a, i])(Subscript[b, i])≡(∑_i)(Subscript[a, i])(Subscript[b, i]),    (Subscript[A, i j])(Subscript[x, j])≡(∑_j)(Subscript[A, i j])(Subscript[x, j])

Using this convention, (Subscript[a, i i]) and (Subscript[a, j j]) are equal.

SCTensorContract[(Subscript[a, i,i])-(Subscript[a, j,j])]

Likewise, (Subscript[a, i])(Subscript[b, i]) and (Subscript[a, j])(Subscript[b, j]) are equal.

SCTensorContract[(Subscript[a, i])(Subscript[b, i])-(Subscript[a, j])(Subscript[b, j])]

Indices can be raised or lowered by contracting with the metric (Subscript[g, i j]) or (g^(i j))

(Subscript[A, i])=(Subscript[g, i j])(A^j)

SCAFE[(Subscript[A, i]),SCSepMetric,{All,g,A,i,j}]

(A^i)=(g^(i j))(Subscript[A, j])

SCAFE[(A^i),SCSepMetric,{All,g,A,i,j}]

Differential Geometry

Metric Tensor

In Cartesian coordinates, the distance ds is given by

(((ds))^2)=d(x^i)d(x^i),    ((x^1)=x, (x^2)=y, (x^3)=z)

Transformation to an alternate coordinate system x'

SCAFE[\[DifferentialD](x^i),SCTransTensor,{All,{x,x'},{x,x'},j}]

In terms of ((x')^i), the distance ds is given by

(((\[DifferentialD]s))^2)==\[DifferentialD](x^i)·\[DifferentialD](x^i)
SCMAF[%,SCTensorRA,{At[2],\[DifferentialD](x^i)==\[DifferentialD]((x')^j) ((∂(x^i))/(∂((x')^j))),{j,k}},Post->SCRemDot,
RA,{At[2],((∂(x^i))/(∂((x')^j))) ((∂(x^i))/(∂((x')^k)))==(Subscript[g, j,k])}]

where

(Subscript[g, j k])=((∂(x^i))/(∂((x')^j))) ((∂(x^i))/(∂((x')^k)))

Dropping the prime, the general relation can be put in the form

(((ds))^2)=(Subscript[g, i j])d(x^i)d(x^j)

The metric tensor (Subscript[g, i j]) for 3-D is

(Subscript[g, i j])=((∂x)/(∂(x^i))) ((∂x)/(∂(x^j)))+((∂y)/(∂(x^i))) ((∂y)/(∂(x^j)))+((∂z)/(∂(x^i))) ((∂z)/(∂(x^j)))

For example, for the spherical coordinate system,

(x^1)=r,    (x^2)=θ,((    x)^3)=ϕ
x=r sin θcos ϕ,    y=r sin θsin ϕ,    z=r cos θ

and the elements (Subscript[g, i j]) are

(Subscript[g, i,j])==((∂x)/(∂(x^i))) ((∂x)/(∂(x^j)))+((∂y)/(∂(x^i))) ((∂y)/(∂(x^j)))+((∂z)/(∂(x^i))) ((∂z)/(∂(x^j)))
SCMAF[%,Table,{At[2],{i,3},{j,3}},RA->{(x^1)==r,(x^2)==θ,(x^3)==ϕ,x==r Sin[θ]Cos[ϕ],y==r Sin[θ]Sin[ϕ],z==r Cos[θ]},Post->{Simplify,SCEvalDeriv},MatrixForm->True]

Geodesic

The length element in Cartesian coordinates

(((ds))^2)=(Subscript[g, i j])d(x^i)d(x^j)

where

(Subscript[g, i j])=(Subscript[δ, i j])=(({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}))

(((\[DifferentialD]s))^2)==(Subscript[g, i,j])\[DifferentialD](x^i)\[DifferentialD](x^j)
SCMAF[%,SCEvalContract,{At[2],{i,3},{j,3}},
RA,{At[2],{(x^1)==x,(x^2)==y,(x^3)==z,(Subscript[g, i_,j_])->KroneckerDelta[i,j]}}]

Suppose a 3-dimensional surface is expressed as

z=f(x,y)

which gives

(((\[DifferentialD]s))^2)==(((\[DifferentialD]x))^2)+(((\[DifferentialD]y))^2)+(((\[DifferentialD]z))^2)
SCMAF[%,RA,{At[2],z==f[x,y]},
SCDerivExpand,{At[2],AbbrevDeriv->False},Post->{Collect->{{\[DifferentialD]x,\[DifferentialD]y}},Expand},
SCFactor,{At[2],(((\[DifferentialD]x))^2),Post->SCCompactDeriv},
SCEqMap,{All,Sqrt},Post->PowerExpand,RA->((\[DifferentialD]y)/(\[DifferentialD]x))==(Subscript[y, x])]

where (Subscript[y, x])=dy/dx.

For geodesic, the curve of minimum length between two points A and B satisfies

δ(∫_A^B)ds=0

The Euler-Lagrange equation is

(d/(dx))((∂f)/(∂(Subscript[y, x])))-((∂f)/(∂y))=0,    (Subscript[y, x])=y'

(\[DifferentialD]/(\[DifferentialD]x))((∂f)/(∂(Subscript[y, x])))-((∂f)/(∂y))==0
SCMAF[%,RA,{At[1],f==(Sqrt[1+(Subscript[y, x]^2) (1+((Derivative[0,1][f][x,y])^2))+2 (Subscript[y, x]) Derivative[0,1][f][x,y] Derivative[1,0][f][x,y]+((Derivative[1,0][f][x,y])^2)])},
SCDerivExpand,At[1],RA->{(Subscript[y, x])==y',((\[DifferentialD](Subscript[y, x]))/(\[DifferentialD]x))==y'',((\[DifferentialD]y)/(\[DifferentialD]x))==y'},Post->{SCAbbrevFunc,Simplify},
Numerator,At[1],SCCollectDerivs->y]

If f does not explicitly depends on y, we can drop the term ∂f/∂y, which gives

((∂f)/(∂(Subscript[y, x])))==const
SCMAF[%,RA,{At[1],f==(Sqrt[1+(Subscript[y, x]^2) (1+((Derivative[0,1][f][x,y])^2))+2 (Subscript[y, x]) Derivative[0,1][f][x,y] Derivative[1,0][f][x,y]+((Derivative[1,0][f][x,y])^2)])},SCFuncRA->f[x,y]->f[x],
SCEvalDeriv,At[1]]

For example, for a cylinder of radius R,

z=f(x)=±(Sqrt[(R^2)-(x^2)])

With[{R=1},
Show[ContourPlot3D[(x^2)+(z^2)==(R^2),{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},BoxRatios->Automatic,AxesLabel->{"x","y","z"},ContourStyle->Opacity[0.5],Mesh->False,ViewPoint->{10,4,4}],Graphics3D[{PointSize[0.03],Point[{{R,0,0},{0,R,1}}]}]]]

we can write

((Subscript[y, x])/(Sqrt[1+(Subscript[y, x]^2)+((f'[x])^2)]))==c
SCMAF[%,SCFuncRA,{At[1],f[x]==(±1)(Sqrt[(R^2)-(x^2)])},
SCSolve,{All,(Subscript[y, x]),Post->{PowerExpand,ChangeSign->-1+_,Simplify}},RA->(Subscript[y, x])->y',
RA,{All,((c R)/(Sqrt[1-(c^2)]))==a}]

where a is an arbitrary constant.

The solution is

y'==(±1)(a/(Sqrt[(R^2)-(x^2)]))
SCMAF[%,SCDSolve,{All,y,x,ReplConst->b},RA->(±1) a->a]

Introducing a parameter θ and putting x=R sin θ,

{y==b+a ArcTan[(x/(Sqrt[(R^2)-(x^2)]))],z==(Sqrt[(R^2)-(x^2)])}
SCMAF[%,RA,{At[_,2],x==R Sin[θ]},Post->{PowerExpand,Simplify}]

and therefore,

x=R sin θ,    y=b+a θ,    z=R cos θ

This is a parametric representation of a helix.

With[{R=1},
Show[ContourPlot3D[(x^2)+(z^2)==(R^2),{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},BoxRatios->Automatic,AxesLabel->{"x","y","z"},ContourStyle->Opacity[0.5],Mesh->False,ViewPoint->{10,4,4}],Graphics3D[{PointSize[0.03],Point[{{R,0,0},{0,R,1}}]}],
Module[{a=-((2 R)/π),b=R,x,y,z},
x=R Sin[θ];
y=b+a θ;
z=R Cos[θ];
ParametricPlot3D[{x,y,z},{θ,(π/2),0}]]]]

Electrodynamics

Field Strength Tensor

Ref.: J. D. Jackson, “Classical Electrodynamics,” 3rd ed., Wiley, 1999.

The fields E and B are expressed in terms of the potentials as

E=-(1/c)((∂A)/(∂t))-∇Φ,    B=∇×A

The x components of E and B are explictly

{(Subscript[Ε, x])==-(1/c)((∂(Subscript[A, x]))/(∂t))-((∂Φ)/(∂x)),(Subscript[B, x])==((∂(Subscript[A, z]))/(∂y))-((∂(Subscript[A, y]))/(∂z))}
SCMAF[%,SCTransDeriv,{At[_,2],TransVar->{{t,x,y,z},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])},{(Subscript[x, 0])==c t,(Subscript[x, 1])==-x,(Subscript[x, 2])==-y,(Subscript[x, 3])==-z}}},Hold->(Subscript[A, a_]),
RA,{All,{Φ==(A^0),(Subscript[A, x])==(A^1),(Subscript[A, y])==(A^2),(Subscript[A, z])==(A^3)}},
SCToPartialD,{All,x}]

This implies that the electric and magnetic fields are the elements of a second-rank, antisymmetric field-strength tensor,

(F^(α β))=(∂^α)(A^β)-(∂^β)(A^α)

Explicitly, the field strength tensor is, in matrix form,

(F^(α,β))==(∂^α)(A^β)-(∂^β)(A^α)
SCMAF[%,Table,{At[2],{α,0,3},{β,0,3}},MatrixForm->True,
SCEliminate,{At[2],{(Subscript[Ε, x])==(∂^1)(A^0)-(∂^0)(A^1),(Subscript[Ε, y])==(∂^2)(A^0)-(∂^0)(A^2),(Subscript[Ε, z])==(∂^3)(A^0)-(∂^0)(A^3),(Subscript[B, x])==(∂^3)(A^2)-(∂^2)(A^3),(Subscript[B, y])==-(∂^3)(A^1)+(∂^1)(A^3),(Subscript[B, z])==(∂^2)(A^1)-(∂^1)(A^2)},{(∂^1)(A^0),(∂^2)(A^0),(∂^3)(A^0),(∂^3)(A^2),(∂^1)(A^3),(∂^2)(A^1)}}]

The covariant form of the field-strength tensor

(Subscript[F, α,β])==(Subscript[g, α,γ])(F^(γ,δ))(Subscript[g, δ,β])
SCMAF[%,RA,{At[2],(Subscript[g, α,γ])(F^(γ,δ))(Subscript[g, δ,β])==(({{1, 0, 0, 0}, {0, -1, 0, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1}})).(({{0, -(Subscript[Ε, x]), -(Subscript[Ε, y]), -(Subscript[Ε, z])}, {(Subscript[Ε, x]), 0, -(Subscript[B, z]), (Subscript[B, y])}, {(Subscript[Ε, y]), (Subscript[B, z]), 0, -(Subscript[B, x])}, {(Subscript[Ε, z]), -(Subscript[B, y]), (Subscript[B, x]), 0}})).(({{1, 0, 0, 0}, {0, -1, 0, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -1}}))},MatrixForm->True]

The dual field-strength tensor (ℱ^(α β))

(ℱ^(α β))=(1/2)(ϵ^(α β γ δ))(Subscript[F, γ δ])

where (ϵ^(α β γ δ)) is a totally antisymmetric fourth-rank tensor

(ϵ^(α β γ δ))=({{{, ({{+1, for α=0,β=1,γ=2,δ=3, and any even permutation}, {-1, for any odd permutation}, {0, if any two indices are equal}})}})

This gives

(ℱ^(α,β))==(1/2)(ϵ^(α,β,γ,δ))(Subscript[F, γ,δ])
With[{d=LeviCivitaTensor[4]},
SCMAF[%,SCEvalContract,{At[2],{γ,0,3},{δ,0,3}},
Table,{At[2],{α,0,3},{β,0,3}},RA->(ϵ^(α_,β_,γ_,δ_)):>d[[α+1,β+1,γ+1,δ+1]],MatrixForm->True,,
RA,{At[2],(Subscript[F, i_,j_]):>-(Subscript[F, j,i])/;j<i},
RA,{At[2],{(Subscript[F, 0,1])==(Subscript[Ε, x]),(Subscript[F, 0,2])==(Subscript[Ε, y]),(Subscript[F, 0,3])==(Subscript[Ε, z]),(Subscript[F, 1,2])==-(Subscript[B, z]),(Subscript[F, 1,3])==(Subscript[B, y]),(Subscript[F, 2,3])==-(Subscript[B, x])}}]]

Electric and Magnetic Fields

The inhomogeneous equations of the Maxwell equations are

∇·E=4π ρ,    ∇×B-(1/c)((∂E)/(∂t))=((4π)/c)J

In terms of (F^(α β)) and the 4-current (J^α) these take on the covariant form

{∇.(OverVector[Ε])==4π ρ,∇\[Cross](OverVector[B])-(1/c)((∂(OverVector[Ε]))/(∂t))==((4π)/c)(OverVector[J])}
SCMAF[%,SCEvalVecOp,{All,(OverVector[A_])=={(Subscript[A, x])[x,y,z,t],(Subscript[A, y])[x,y,z,t],(Subscript[A, z])[x,y,z,t]},{x,y,z},{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])}},RA->{a_,b_,c_}:>{a,b,c}.{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])},
SCExpandDeriv,All,Post->{SCAbbrevFunc,SCFactorDeriv},
SCUnitVecToVec,{At[2],{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])}},Post->Thread,PostAll->Flatten,
SCTransDeriv,{All,TransVar->{{t,x,y,z},{(x^0),(x^1),(x^2),(x^3)},{(x^0)==c t,(x^1)==x,(x^2)==y,(x^3)==z}}},Hold->(Subscript[A_, a_]),
RA,{All,{(Subscript[Ε, x])==-(F^(0,1)),(Subscript[Ε, y])==-(F^(0,2)),(Subscript[Ε, z])==-(F^(0,3)),(Subscript[B, x])==-(F^(2,3)),(Subscript[B, y])==(F^(1,3)),(Subscript[B, z])==-(F^(1,2)),ρ==((J^0)/c),(Subscript[J, x])==(J^1),(Subscript[J, y])==(J^2),(Subscript[J, z])==(J^3)}},SCToPartialD->x,
RA,{All,(∂_(i_))(F^(j_,k_)):>-(∂_i)(F^(k,j))/;i≠j}]

that is,

(∂_α)(F^(α β))=((4π)/c)(J^β)

Similarly, the homogeneous Maxwell equations

∇·B=0,    ∇×E+(1/c)((∂B)/(∂t))=0

can be written in terms of the dual field-strength tensor as

{∇.(OverVector[B])==0,∇\[Cross](OverVector[Ε])+(1/c)((∂(OverVector[B]))/(∂t))==0}
SCMAF[%,SCEvalVecOp,{All,(OverVector[A_])=={(Subscript[A, x])[x,y,z,t],(Subscript[A, y])[x,y,z,t],(Subscript[A, z])[x,y,z,t]},{x,y,z},{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])}},RA->{a_,b_,c_}:>{a,b,c}.{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])},
SCExpandDeriv,All,Post->{SCAbbrevFunc,SCFactorDeriv},
SCUnitVecToVec,{At[2],{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])}},Post->Thread,PostAll->Flatten,
SCTransDeriv,{All,TransVar->{{t,x,y,z},{(x^0),(x^1),(x^2),(x^3)},{(x^0)==c t,(x^1)==x,(x^2)==y,(x^3)==z}}},Hold->(Subscript[A_, a_]),
RA,{All,{(Subscript[Ε, x])==(ℱ^(2,3)),(Subscript[Ε, y])==-(ℱ^(1,3)),(Subscript[Ε, z])==(ℱ^(1,2)),(Subscript[B, x])==(ℱ^(1,0)),(Subscript[B, y])==(ℱ^(2,0)),(Subscript[B, z])==(ℱ^(3,0))}},SCToPartialD->x,
RA,{All,(∂_(i_))(ℱ^(j_,k_)):>-(∂_i)(ℱ^(k,j))/;i≠j},SCMultEq->{At[2|3|4],-1}]

that is,

(∂_α)(ℱ^(α β))=0

In terms of (F^(α β)), rather than (ℱ^(α β)), these homogeneous equations are the four equations

{∇.(OverVector[B])==0,∇\[Cross](OverVector[Ε])+(1/c)((∂(OverVector[B]))/(∂t))==0}
SCMAF[%,SCEvalVecOp,{All,(OverVector[A_])=={(Subscript[A, x])[x,y,z,t],(Subscript[A, y])[x,y,z,t],(Subscript[A, z])[x,y,z,t]},{x,y,z},{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])}},RA->{a_,b_,c_}:>{a,b,c}.{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])},
SCExpandDeriv,All,Post->{SCAbbrevFunc,SCFactorDeriv},
SCUnitVecToVec,{At[2],{(OverHat[x]),(OverHat[y]),(OverHat[z])}},Post->Thread,PostAll->Flatten,
SCTransDeriv,{All,TransVar->{{t,x,y,z},{(x^0),(x^1),(x^2),(x^3)},{(x^0)==c t,(x^1)==x,(x^2)==y,(x^3)==z}}},Hold->(Subscript[A_, a_]),
RA,{All,{(Subscript[Ε, x])==(Subscript[F, 0,1]),(Subscript[Ε, y])==(Subscript[F, 0,2]),(Subscript[Ε, z])==(Subscript[F, 0,3]),(Subscript[B, x])==-(Subscript[F, 2,3]),(Subscript[B, y])==(Subscript[F, 1,3]),(Subscript[B, z])==-(Subscript[F, 1,2])}},SCToPartialD->x,
RA,{All,(∂_(i_))(Subscript[F, j_,k_]):>-(∂_i)(Subscript[F, k,j])/;Signature[{i,j,k}]==-1},SCMultEq->{At[1|2|4],-1}]

that is,

(∂_α)(Subscript[F, β γ])+(∂_β)(Subscript[F, γ α])+(∂_γ)(Subscript[F, α β])=0

where α, β, γ are any three of the integers 0, 1, 2, 3.

General Relativity

Riemann-Christoffel Curvature Tensor

Ref.: S. Weinberg, “Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity,” Wiley, 1972.

Proof that the covariant derivative (Subscript[(V^μ), ;λ]) is a tensor:

SCAFE[(Subscript[(V^μ), \[Null];λ]),SCFromCovarDeriv,{All,V,κ,Partial->x},
RA,{All,{V->V',Γ->Γ',x->x'}},
SCTransTensor,{At[2],V',x',{ν,ν}},
SCTensorRA,{At[2],(Subscript[Γ', μ_,ν_]^(λ_))==-((∂(x^ρ))/(∂((x')^ν))) ((∂(x^σ))/(∂((x')^μ))) (((∂^2)((x')^λ))/(∂(x^ρ)∂(x^σ)))+(Subscript[Γ, σ,τ]^ρ) ((∂(x^σ))/(∂((x')^ν))) ((∂(x^τ))/(∂((x')^μ))) ((∂((x')^λ))/(∂(x^ρ)))},Post->Expand,
SCTransDeriv,{(∂/(∂((x')^λ)))((V^ν) ((∂((x')^μ))/(∂(x^ν)))),TransVar->{((x')^λ),(x^κ)}},
SCDerivExpand,{(∂/(∂(x^κ)))((V^ν) ((∂((x')^μ))/(∂(x^ν)))),{(V^ν),((x')^μ)}},
Expand,At[2],Post->{SCTensorContract->Γ,SCContractToDelta},
SCMatchIndices,{At[2],((∂(x^κ))/(∂((x')^λ))) ((∂((x')^μ))/(∂(x^ν))),ReplVar->σ},Post->Factor,
RA,{At[2],((∂(V^ν))/(∂(x^κ)))+(Subscript[Γ, σ,κ]^ν) (V^σ)==(Subscript[(V^ν), \[Null];κ])},RA->κ->ρ]

Since (Subscript[(V^μ), ;λ]) is a tensor, we can use SCTransTensor for transformation:

SCAFE[(Subscript[((V')^μ), \[Null];λ]),SCTransTensor,{All,V',x',{ρ,ν}}]

Similarly, we can prove that the covariant derivative (Subscript[(T^(μ σ))(Subscript[, λ]), ;ρ]) is a tensor:

SCAFE[(Subscript[(T^(μ,σ))(Subscript[\[Null], λ]), \[Null];ρ]),SCFromCovarDeriv,{All,T,ν,Partial->x},
RA,{All,{T->T',Γ->Γ',x->x'}},
SCTransTensor,{((T')^(μ_,ν_))(Subscript[\[Null], λ_]),T',x'},Target->At[2],
SCTensorRA,{At[2],(Subscript[Γ', μ_,ν_]^(λ_))==-((∂(x^ρ))/(∂((x')^ν))) ((∂(x^σ))/(∂((x')^μ))) (((∂^2)((x')^λ))/(∂(x^ρ)∂(x^σ)))+(Subscript[Γ, σ,τ]^ρ) ((∂(x^σ))/(∂((x')^ν))) ((∂(x^τ))/(∂((x')^μ))) ((∂((x')^λ))/(∂(x^ρ)))},
SCDerivExpand,{(∂/(∂((x')^ρ)))((T^(K[1],K[2]))(Subscript[\[Null], ν]) ((∂(x^ν))/(∂((x')^λ))) ((∂((x')^μ))/(∂(x^(K[1])))) ((∂((x')^σ))/(∂(x^(K[2]))))),{(T^(K[1],K[2]))(Subscript[\[Null], ν]) ((∂((x')^μ))/(∂(x^(K[1])))) ((∂((x')^σ))/(∂(x^(K[2])))),((∂(x^ν))/(∂((x')^λ)))}},Post->SCCombDerivs,
SCTensorRA,{At[2],(((∂^2)(x^(κ_)))/(∂((x')^(μ_))∂((x')^(ν_))))==-((∂(x^κ))/(∂((x')^λ))) ((∂(x^ρ))/(∂((x')^ν))) ((∂(x^σ))/(∂((x')^μ))) (((∂^2)((x')^λ))/(∂(x^ρ)∂(x^σ)))},
SCTransDeriv,{(∂/(∂((x')^ρ)))((T^(K[1],K[2]))(Subscript[\[Null], ν]) ((∂((x')^μ))/(∂(x^(K[1])))) ((∂((x')^σ))/(∂(x^(K[2]))))),TransVar->{((x')^ρ),(x^κ)}},
SCDerivExpand,{(∂/(∂(x^κ)))((T^(K[1],K[2]))(Subscript[\[Null], ν]) ((∂((x')^μ))/(∂(x^(K[1])))) ((∂((x')^σ))/(∂(x^(K[2]))))),{(T^(K[1],K[2]))(Subscript[\[Null], ν]) ,((x')^(μ_))}},
Expand,At[2],Post->{SCTensorContract->Γ,SCContractToDelta},
SCMatchIndices,{At[2],((∂(x^α))/(∂((x')^λ))) ((∂(x^κ))/(∂((x')^ρ))) ((∂((x')^μ))/(∂(x^β))) ((∂((x')^σ))/(∂(x^ν))),ReplVar->η},Post->Factor,
RA,{At[2],((∂(T^(β,ν))(Subscript[\[Null], α]))/(∂(x^κ)))+(T^(η,ν))(Subscript[\[Null], α]) (Subscript[Γ, η,κ]^β)+(T^(β,η))(Subscript[\[Null], α]) (Subscript[Γ, η,κ]^ν)-(T^(β,ν))(Subscript[\[Null], η]) (Subscript[Γ, κ,α]^η)==(Subscript[(T^(β,ν))(Subscript[\[Null], α]), \[Null];κ])}]

Since (Subscript[(T^(μ σ))(Subscript[, λ]), ;ρ]) is a tensor, we can use SCTransTensor for transformation:

SCAFE[(Subscript[((T')^(μ,σ))(Subscript[\[Null], λ]), \[Null];ρ]),SCTransTensor,{All,T',x',{α,β,κ,ν}}]

The equation of motion

(((d^2)(x^λ))/(d(τ^2)))+(Subscript[Γ, μ ν]^λ) ((d(x^μ))/(dτ)) ((d(x^ν))/(dτ))=0

where (Subscript[Γ, μ ν]^λ) is the affine connection

(Subscript[Γ, μ ν]^λ)≡((∂(x^λ))/(∂(ξ^α))) (((∂^2)(ξ^α))/(∂(x^μ)∂(x^ν)))

The Riemann-Christoffel curvature tensor

(R^λ)(Subscript[, μ ν κ])≡((∂(Subscript[Γ, μ ν]^λ))/(∂(x^κ)))-((∂(Subscript[Γ, κ μ]^λ))/(∂(x^ν)))+(Subscript[Γ, η κ]^λ) (Subscript[Γ, μ ν]^η)-(Subscript[Γ, η ν]^λ) (Subscript[Γ, κ μ]^η)

which satisfies the transformation rule

((R')^τ)(Subscript[, ρ σ η])=(R^λ)(Subscript[, μ ν κ]) ((∂(x^κ))/(∂((x')^η))) ((∂(x^μ))/(∂((x')^ρ))) ((∂(x^ν))/(∂((x')^σ))) ((∂((x')^τ))/(∂(x^λ)))

The fully covariant form of the curvature tensor

SCAFE[(R^σ)(Subscript[\[Null], μ,ν,κ]) (Subscript[g, λ,σ]),SCContractMetric,{All,g,R}]

or

SCAFE[(Subscript[R, λ,μ,ν,κ]),SCSepMetric,{All,g,R,λ,σ},Head->Congruent]

This becomes

(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])==(R^σ)(Subscript[\[Null], μ,ν,κ]) (Subscript[g, λ,σ])
SCMAF[%,SCTensorRA,{At[2],(R^(λ_))(Subscript[\[Null], μ,ν,κ])==((∂(Subscript[Γ, μ,ν]^λ))/(∂(x^κ)))-((∂(Subscript[Γ, κ,μ]^λ))/(∂(x^ν)))+(Subscript[Γ, η,κ]^λ) (Subscript[Γ, μ,ν]^η)-(Subscript[Γ, η,ν]^λ) (Subscript[Γ, κ,μ]^η),η},
SCTensorRA,{-((∂(Subscript[Γ, κ,μ]^σ))/(∂(x^ν)))+((∂(Subscript[Γ, μ,ν]^σ))/(∂(x^κ))),(Subscript[Γ, λ_,μ_]^(σ_))==((g^(ν,σ))/2) (((∂(Subscript[g, λ,ν]))/(∂(x^μ)))-((∂(Subscript[g, μ,λ]))/(∂(x^ν)))+((∂(Subscript[g, μ,ν]))/(∂(x^λ)))),ρ},
SCExpandMult,At[2],SCSortIndices->g]

Using the relations

((∂(Subscript[g, λ σ]))/(∂(x^κ)))=(Subscript[Γ, σ κ]^ρ) (Subscript[g, λ ρ])+(Subscript[Γ, λ κ]^ρ) (Subscript[g, ρ σ]),    ((∂(g^(ρ σ)))/(∂(x^κ)))=-(Subscript[Γ, κ λ]^σ) (g^(λ ρ))-(Subscript[Γ, κ λ]^ρ) (g^(λ σ))

it can be shown that

(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])==-((Subscript[g, λ,σ])/2) (∂/(∂(x^ν)))((g^(ρ,σ)) (-((∂(Subscript[g, κ,μ]))/(∂(x^ρ)))+((∂(Subscript[g, κ,ρ]))/(∂(x^μ)))+((∂(Subscript[g, μ,ρ]))/(∂(x^κ)))))+((Subscript[g, λ,σ])/2) (∂/(∂(x^κ)))((g^(ρ,σ)) (-((∂(Subscript[g, μ,ν]))/(∂(x^ρ)))+((∂(Subscript[g, μ,ρ]))/(∂(x^ν)))+((∂(Subscript[g, ν,ρ]))/(∂(x^μ)))))-(Subscript[Γ, η,ν]^σ) (Subscript[Γ, κ,μ]^η) (Subscript[g, λ,σ])+(Subscript[Γ, η,κ]^σ) (Subscript[Γ, μ,ν]^η) (Subscript[g, λ,σ])
SCMAF[%,SCDerivExpand,{At[2],{(g^(μ_,ν_)),(Subscript[g, μ_,ν_])}},
Expand,At[2],
SCTensorRA,{At[2],{((∂(Subscript[g, λ_,σ_]))/(∂(x^(κ_))))==(Subscript[Γ, σ,κ]^ρ) (Subscript[g, λ,ρ])+(Subscript[Γ, λ,κ]^ρ) (Subscript[g, ρ,σ]),((∂(g^(ρ_,σ_)))/(∂(x^(κ_))))==-(Subscript[Γ, κ,λ]^σ) (g^(λ,ρ))-(Subscript[Γ, κ,λ]^ρ) (g^(λ,σ))}},Post->Expand,
SCContractToDelta,{At[2],g},SCTensorContract->{{Γ,g}},
SCFactor,{{-(1/2) (((∂^2)(Subscript[g, κ,λ]))/(∂(x^μ)∂(x^ν)))+(1/2) (((∂^2)(Subscript[g, κ,μ]))/(∂(x^λ)∂(x^ν)))+(1/2) (((∂^2)(Subscript[g, λ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^μ)))-(1/2) (((∂^2)(Subscript[g, μ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^λ))),(1/2)},{(Subscript[Γ, κ,μ]^ρ) (Subscript[Γ, λ,ν]^η) (Subscript[g, η,ρ])-(Subscript[Γ, κ,λ]^η) (Subscript[Γ, μ,ν]^ρ) (Subscript[g, η,ρ]),(Subscript[g, η,ρ])},RA->ρ->σ}]

The properties of the curvature tensor

(A) Symmetry

(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])==(1/2) (-(((∂^2)(Subscript[g, κ,λ]))/(∂(x^μ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, κ,μ]))/(∂(x^λ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, λ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^μ)))-(((∂^2)(Subscript[g, μ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^λ))))+((Subscript[Γ, κ,μ]^σ) (Subscript[Γ, λ,ν]^η)-(Subscript[Γ, κ,λ]^η) (Subscript[Γ, μ,ν]^σ)) (Subscript[g, η,σ])
SCMAF[%,{#,SCSwap[#,{λ,ν},{κ,μ}]}&,All,Post->SCSubtEqs,
Expand,At[2],SCTensorContract->{{Γ,g}},SCEqMove->{All,(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])}]

(B) Antisymmetry

(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])==(1/2) (-(((∂^2)(Subscript[g, κ,λ]))/(∂(x^μ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, κ,μ]))/(∂(x^λ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, λ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^μ)))-(((∂^2)(Subscript[g, μ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^λ))))+((Subscript[Γ, κ,μ]^σ) (Subscript[Γ, λ,ν]^η)-(Subscript[Γ, κ,λ]^η) (Subscript[Γ, μ,ν]^σ)) (Subscript[g, η,σ])
SCMAF[%,{#,SCSwap[#,μ,λ]}&,All,Post->SCAddEqs,
SCTensorContract,{All,{Γ,g}},SCEqMove->(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])]

(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])==(1/2) (-(((∂^2)(Subscript[g, κ,λ]))/(∂(x^μ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, κ,μ]))/(∂(x^λ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, λ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^μ)))-(((∂^2)(Subscript[g, μ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^λ))))+((Subscript[Γ, κ,μ]^σ) (Subscript[Γ, λ,ν]^η)-(Subscript[Γ, κ,λ]^η) (Subscript[Γ, μ,ν]^σ)) (Subscript[g, η,σ])
SCMAF[%,{#,SCSwap[#,κ,ν]}&,All,Post->SCAddEqs,
SCTensorContract,{All,{Γ,g}},SCEqMove->(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])]

(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])==(1/2) (-(((∂^2)(Subscript[g, κ,λ]))/(∂(x^μ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, κ,μ]))/(∂(x^λ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, λ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^μ)))-(((∂^2)(Subscript[g, μ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^λ))))+((Subscript[Γ, κ,μ]^σ) (Subscript[Γ, λ,ν]^η)-(Subscript[Γ, κ,λ]^η) (Subscript[Γ, μ,ν]^σ)) (Subscript[g, η,σ])
SCMAF[%,{#,SCSwap[#,{μ,λ},{κ,ν}]}&,All,Post->SCSubtEqs,
SCTensorContract,{All,{Γ,g}},SCEqMove->(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])]

and thus,

(Subscript[R, λ μ ν κ])=-(Subscript[R, μ λ ν κ])=-(Subscript[R, λ μ κ ν])=(Subscript[R, μ λ κ ν])

(C) Cyclicity

(Subscript[R, λ,μ,ν,κ])==(1/2) (-(((∂^2)(Subscript[g, κ,λ]))/(∂(x^μ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, κ,μ]))/(∂(x^λ)∂(x^ν)))+(((∂^2)(Subscript[g, λ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^μ)))-(((∂^2)(Subscript[g, μ,ν]))/(∂(x^κ)∂(x^λ))))+((Subscript[Γ, κ,μ]^σ) (Subscript[Γ, λ,ν]^η)-(Subscript[Γ, κ,λ]^η) (Subscript[Γ, μ,ν]^σ)) (Subscript[g, η,σ])
SCMAF[%,{#,SCSwap[#,{μ,κ,ν}],SCSwap[#,{μ,ν,κ}]}&,All,Post->SCAddEqs,
SCTensorContract,{At[2],{Γ,g}}]

The Ricci tensor

(Subscript[R, μ κ])≡(R^λ)(Subscript[, μ λ κ])

(Subscript[R, μ,κ])==(R^λ)(Subscript[\[Null], μ,λ,κ])
SCMAF[%,RA,{At[2],(R^λ)(Subscript[\[Null], μ,ν_,κ])==((∂(Subscript[Γ, μ,ν]^λ))/(∂(x^κ)))-((∂(Subscript[Γ, κ,μ]^λ))/(∂(x^ν)))+(Subscript[Γ, η,κ]^λ) (Subscript[Γ, μ,ν]^η)-(Subscript[Γ, η,ν]^λ) (Subscript[Γ, κ,μ]^η)},SCSortIndices->Γ]

The Ricci scalar

R=(g^(μ κ))(Subscript[R, μ κ])

Gravitational Scalar Perturbations

Ref.: I. Cho, J. O. Gong, and S. H. Oh, “Second-order effective energy-momentum tensor of gravitational scalar perturbations with perfect fluid,” Phys. Rev. D, vol. 102, 043531, 2020.

Using the formulae for the metric tensor (g^(μ ν))

(g^00)=((2 A-4 (A^2)+(Subscript[B, i]^2)-1)/(a^2)),    (g^(0 i))=(g^(i 0))=((2 A (Subscript[B, i])+2 (Subscript[B, j]) (Subscript[C, i j])-(Subscript[B, i]))/(a^2)),    (g^(i j))=(((Subscript[δ, i j])-(Subscript[B, i]) (Subscript[B, j])-2 (Subscript[C, i j])+4 (Subscript[C, i k]) (Subscript[C, k j]))/(a^2)),

the connection coefficients can be calculated as

(Γ^μ)(Subscript[\[Null], α,β])==(1/2)(g^(μ,ν))((Subscript[(Subscript[g, ν,α]), \[Null],β])+(Subscript[(Subscript[g, ν,β]), \[Null],α])-(Subscript[(Subscript[g, α,β]), \[Null],ν]))
SCMAF[%,RA,{All,{{α==0,β==0,μ==0},{α==0,β==i,μ==0},{α==i,β==j,μ==0},{α==0,β==0,μ==i},{α==0,β==j,μ==i},{α==j,β==k,μ==i}}},
Expand,All,SCIndexToSum->{{ν,{0,l}}},
SCTensorRA,{All,{(Subscript[g, 0,0])==-(a^2)(1+2A),(Subscript[g, 0,i_])==-(a^2)(Subscript[B, i]),(Subscript[g, i_,0])==-(a^2)(Subscript[B, i]),(Subscript[g, i_,j_])==(a^2)((Subscript[δ, i,j])+2(Subscript[C, i,j])),(g^(0,0))==((2 A-4 (A^2)+(Subscript[B, i]^2)-1)/(a^2)),(g^(0,i_))==((2 A (Subscript[B, i])+2 (Subscript[B, j]) (Subscript[C, i,j])-(Subscript[B, i]))/(a^2)),(g^(i_,0))==((2 A (Subscript[B, i])+2 (Subscript[B, j]) (Subscript[C, i,j])-(Subscript[B, i]))/(a^2)),(g^(i_,j_))==(((Subscript[δ, i,j])-(Subscript[B, i]) (Subscript[B, j])-2 (Subscript[C, i,j])+4 (Subscript[C, i,k]) (Subscript[C, k,j]))/(a^2))}},
SCDerivExpand,{All,{a==a[(x^0)],A,(Subscript[B, i_]),(Subscript[C, i_,j_])},Derivative->Prime,Partial->x},
Expand,At[_,2],RA->{a'==a ℋ,(Subscript[f_, \[Null],0])->f'},
SCContractDelta,All,
SCTaylorSeriesByOrder,{At[_,2],{A,B,C},2},
SCTensorContract,{All,C},SCIndexCommutator->C,
SCFactor,{{ℋ (Subscript[B, i]^2)+(Subscript[B, i]) (Subscript[B, i]^′),(Subscript[B, i])},{-(Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i]) (Subscript[B, k])+2 (Subscript[B, k]) (Subscript[C, i,[j,k]]),-(Subscript[B, k])},{-4 A ℋ (Subscript[C, i,j])-2 A (Subscript[C, i,j]^′),-2A},{2 ℋ (Subscript[B, j]) (Subscript[C, i,j])+2 (Subscript[C, i,j]) (Subscript[B, j]^′),2(Subscript[C, i,j])},{-2 (Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],j]) (Subscript[C, i,l])+4 (Subscript[C, i,l]) (Subscript[C, j,[k,l]]),-2(Subscript[C, i,l])},{2 ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[C, j,k])+(Subscript[B, i]) (Subscript[C, j,k]^′),(Subscript[B, i])}}]

where ℋ is defined by,

ℋ≡a'/a.

The formulae for the contraction (Γ^k)(Subscript[, 0 k]) and (Γ^k)(Subscript[, i k]) are

{(Γ^i)(Subscript[\[Null], 0,j])==(Subscript[A, \[Null],j]) (Subscript[B, i])-ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[B, j])-(Subscript[B, [i,j]])-2 (Subscript[B, [j,k]]) (Subscript[C, i,k])+ℋ (Subscript[δ, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)-2 (Subscript[C, i,k]) (Subscript[C, j,k]^′),(Γ^i)(Subscript[\[Null], j,k])==-(Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])+(Subscript[B, i]) (Subscript[B, {j,k}])+2 (Subscript[C, i,{j,k}])-2 (Subscript[C, i,l]) ((Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],j])-2 (Subscript[C, j,[k,l]]))+ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[δ, j,k])-2 A ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[δ, j,k])-2 ℋ (Subscript[B, l]) (Subscript[C, i,l]) (Subscript[δ, j,k])+(Subscript[B, i]) (2 ℋ (Subscript[C, j,k])+(Subscript[C, j,k]^′))}
SCMAF[%,SCReplaceIndices,{{At[1],i|j->k,l},{At[2],{i->k,j->i},l}},Post->SCExpandIndexCommutator,
Expand,All,Post->SCContractDelta,RA->(Subscript[δ, i_,i_])->3,
SCTensorContract,{All,C,All->False},SCIndexCommutator->C]

The components of the Ricci tensor are:

(Subscript[R, μ,ν])==(Subscript[(Γ^α)(Subscript[\[Null], μ,ν]), \[Null],α])-(Subscript[(Γ^α)(Subscript[\[Null], μ,α]), \[Null],ν])+(Γ^α)(Subscript[\[Null], β,α])(Γ^β)(Subscript[\[Null], μ,ν])-(Γ^α)(Subscript[\[Null], β,ν])(Γ^β)(Subscript[\[Null], μ,α])
SCMAF[%,RA,{All,{μ==0,ν==0}},Post->{Expand,SCSortIndices->(Γ^α)(Subscript[\[Null], β__]),SCIndexToSum->{{α,{0,i}},{β,{0,j}}}},
SCTensorRA,{At[2],{(Γ^0)(Subscript[\[Null], 0,0])==ℋ-(Subscript[A, \[Null],i]) (Subscript[B, i])+A'-2 A A'+(Subscript[B, i]) (ℋ (Subscript[B, i])+(Subscript[B, i]^′)),(Γ^0)(Subscript[\[Null], 0,i_])==(Subscript[A, \[Null],i])-2 A (Subscript[A, \[Null],i])-ℋ (Subscript[B, i])+2 A ℋ (Subscript[B, i])-(Subscript[B, k]) (Subscript[B, [i,k]])-(Subscript[B, k]) (Subscript[C, i,k]^′),(Γ^0)(Subscript[\[Null], i_,j_])==(Subscript[B, {i,j}])-2 A (Subscript[B, {i,j}])+2 ℋ (Subscript[C, i,j])-(Subscript[B, k]) ((Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])-2 (Subscript[C, i,[j,k]]))+ℋ (Subscript[δ, i,j])-2 A ℋ (Subscript[δ, i,j])+4 (A^2) ℋ (Subscript[δ, i,j])-ℋ (Subscript[B, k]^2) (Subscript[δ, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)-2 A (2 ℋ (Subscript[C, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)),(Γ^(i_))(Subscript[\[Null], 0,0])==(Subscript[A, \[Null],i])-ℋ (Subscript[B, i])-2 (Subscript[A, \[Null],j]) (Subscript[C, i,j])+(Subscript[B, i]) A'-(Subscript[B, i]^′)+2 (Subscript[C, i,j]) (ℋ (Subscript[B, j])+(Subscript[B, j]^′)),(Γ^(i_))(Subscript[\[Null], 0,j_])==(Subscript[A, \[Null],j]) (Subscript[B, i])-ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[B, j])-(Subscript[B, [i,j]])-2 (Subscript[B, [j,k]]) (Subscript[C, i,k])+ℋ (Subscript[δ, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)-2 (Subscript[C, i,k]) (Subscript[C, j,k]^′),(Γ^(i_))(Subscript[\[Null], j_,k_])==-(Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])+(Subscript[B, i]) (Subscript[B, {j,k}])+2 (Subscript[C, i,{j,k}])-2 (Subscript[C, i,l]) ((Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],j])-2 (Subscript[C, j,[k,l]]))+ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[δ, j,k])-2 A ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[δ, j,k])-2 ℋ (Subscript[B, l]) (Subscript[C, i,l]) (Subscript[δ, j,k])+(Subscript[B, i]) (2 ℋ (Subscript[C, j,k])+(Subscript[C, j,k]^′))}},Post->SCExpandIndexCommutator,RA->(f_)'->(Subscript[f, \[Null],0]),
SCDerivExpand,{All,{ℋ==ℋ[(x^0)],A,(Subscript[B, i_]),(Subscript[C, i_,j_])},Partial->x,Derivative->Prime},RR->{(Subscript[f_, \[Null],0])->f',(Subscript[f_, \[Null],0,a__])->(Subscript[f', \[Null],a])},
Expand,At[2],Post->SCContractDelta,RA->(Subscript[δ, i_,i_])->3,
SCTaylorSeriesByOrder,{At[2],{A,B,C},2},Post->SCCompactDeriv,
SCTensorContract,{At[2],C},
RA,{At[2],{((Subscript[A, \[Null],i])^2)==(((∇A))^2),(Subscript[A, \[Null],i,i])==(∇^2)A}},SCIndexCommutator->C]

(Subscript[R, μ,ν])==(Subscript[(Γ^α)(Subscript[\[Null], μ,ν]), \[Null],α])-(Subscript[(Γ^α)(Subscript[\[Null], μ,α]), \[Null],ν])+(Γ^α)(Subscript[\[Null], β,α])(Γ^β)(Subscript[\[Null], μ,ν])-(Γ^α)(Subscript[\[Null], β,ν])(Γ^β)(Subscript[\[Null], μ,α])
SCMAF[%,RA,{All,{μ==0,ν==i}},Post->{Expand,SCSortIndices->(Γ^α)(Subscript[\[Null], β__]),SCIndexToSum->{{α,{0,j}},{β,{0,k}}}},
SCTensorRA,{At[2],{(Γ^0)(Subscript[\[Null], 0,0])==ℋ-(Subscript[A, \[Null],i]) (Subscript[B, i])+A'-2 A A'+(Subscript[B, i]) (ℋ (Subscript[B, i])+(Subscript[B, i]^′)),(Γ^0)(Subscript[\[Null], 0,i_])==(Subscript[A, \[Null],i])-2 A (Subscript[A, \[Null],i])-ℋ (Subscript[B, i])+2 A ℋ (Subscript[B, i])-(Subscript[B, k]) (Subscript[B, [i,k]])-(Subscript[B, k]) (Subscript[C, i,k]^′),(Γ^0)(Subscript[\[Null], i_,j_])==(Subscript[B, {i,j}])-2 A (Subscript[B, {i,j}])+2 ℋ (Subscript[C, i,j])-(Subscript[B, k]) ((Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])-2 (Subscript[C, i,[j,k]]))+ℋ (Subscript[δ, i,j])-2 A ℋ (Subscript[δ, i,j])+4 (A^2) ℋ (Subscript[δ, i,j])-ℋ (Subscript[B, k]^2) (Subscript[δ, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)-2 A (2 ℋ (Subscript[C, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)),(Γ^(i_))(Subscript[\[Null], 0,0])==(Subscript[A, \[Null],i])-ℋ (Subscript[B, i])-2 (Subscript[A, \[Null],j]) (Subscript[C, i,j])+(Subscript[B, i]) A'-(Subscript[B, i]^′)+2 (Subscript[C, i,j]) (ℋ (Subscript[B, j])+(Subscript[B, j]^′)),(Γ^(i_))(Subscript[\[Null], 0,j_])==(Subscript[A, \[Null],j]) (Subscript[B, i])-ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[B, j])-(Subscript[B, [i,j]])-2 (Subscript[B, [j,k]]) (Subscript[C, i,k])+ℋ (Subscript[δ, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)-2 (Subscript[C, i,k]) (Subscript[C, j,k]^′),(Γ^(i_))(Subscript[\[Null], j_,k_])==-(Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])+(Subscript[B, i]) (Subscript[B, {j,k}])+2 (Subscript[C, i,{j,k}])-2 (Subscript[C, i,l]) ((Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],j])-2 (Subscript[C, j,[k,l]]))+ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[δ, j,k])-2 A ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[δ, j,k])-2 ℋ (Subscript[B, l]) (Subscript[C, i,l]) (Subscript[δ, j,k])+(Subscript[B, i]) (2 ℋ (Subscript[C, j,k])+(Subscript[C, j,k]^′))}},Post->SCExpandIndexCommutator,RA->(f_)'->(Subscript[f, \[Null],0]),
SCDerivExpand,{All,{ℋ==ℋ[(x^0)],A,(Subscript[B, i_]),(Subscript[C, i_,j_])},Partial->x,Derivative->Prime},RR->{(Subscript[f_, \[Null],0])->f',(Subscript[f_, \[Null],0,a__])->(Subscript[f', \[Null],a])},
Expand,At[2],Post->SCContractDelta,RA->(Subscript[δ, i_,i_])->3,
SCTaylorSeriesByOrder,{At[2],{A,B,C},2},Post->SCCompactDeriv,
SCTensorContract,{At[2],C},
SCIndexCommutator,{At[2],C},Post->Expand]

(Subscript[R, μ,ν])==(Subscript[(Γ^α)(Subscript[\[Null], μ,ν]), \[Null],α])-(Subscript[(Γ^α)(Subscript[\[Null], μ,α]), \[Null],ν])+(Γ^α)(Subscript[\[Null], β,α])(Γ^β)(Subscript[\[Null], μ,ν])-(Γ^α)(Subscript[\[Null], β,ν])(Γ^β)(Subscript[\[Null], μ,α])
SCMAF[%,RA,{All,{μ==i,ν==j}},Post->{Expand,SCSortIndices->(Γ^α)(Subscript[\[Null], β__]),SCIndexToSum->{{α,{0,k}},{β,{0,l}}}},
SCTensorRA,{At[2],{(Γ^0)(Subscript[\[Null], 0,0])==ℋ-(Subscript[A, \[Null],i]) (Subscript[B, i])+A'-2 A A'+(Subscript[B, i]) (ℋ (Subscript[B, i])+(Subscript[B, i]^′)),(Γ^0)(Subscript[\[Null], 0,i_])==(Subscript[A, \[Null],i])-2 A (Subscript[A, \[Null],i])-ℋ (Subscript[B, i])+2 A ℋ (Subscript[B, i])-(Subscript[B, k]) (Subscript[B, [i,k]])-(Subscript[B, k]) (Subscript[C, k,i]^′),(Γ^0)(Subscript[\[Null], i_,j_])==(Subscript[B, {i,j}])-2 A (Subscript[B, {i,j}])+2 ℋ (Subscript[C, i,j])-(Subscript[B, k]) ((Subscript[(Subscript[C, k,j]), \[Null],i])-2 (Subscript[C, i,[j,k]]))+ℋ (Subscript[δ, i,j])-2 A ℋ (Subscript[δ, i,j])+4 (A^2) ℋ (Subscript[δ, i,j])-ℋ (Subscript[B, k]^2) (Subscript[δ, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)-2 A (2 ℋ (Subscript[C, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)),(Γ^(i_))(Subscript[\[Null], 0,j_])==(Subscript[A, \[Null],j]) (Subscript[B, i])-ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[B, j])-(Subscript[B, [i,j]])-2 (Subscript[B, [j,k]]) (Subscript[C, i,k])+ℋ (Subscript[δ, i,j])+(Subscript[C, i,j]^′)-2 (Subscript[C, i,k]) (Subscript[C, k,j]^′),(Γ^(i_))(Subscript[\[Null], j_,k_])==-(Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])+(Subscript[B, i]) (Subscript[B, {j,k}])+2 (Subscript[C, i,{j,k}])-2 (Subscript[C, i,l]) ((Subscript[(Subscript[C, l,k]), \[Null],j])-2 (Subscript[C, j,[k,l]]))+ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[δ, j,k])-2 A ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[δ, j,k])-2 ℋ (Subscript[B, l]) (Subscript[C, i,l]) (Subscript[δ, j,k])+(Subscript[B, i]) (2 ℋ (Subscript[C, j,k])+(Subscript[C, j,k]^′))}},Post->SCExpandIndexCommutator,RA->(f_)'->(Subscript[f, \[Null],0]),
SCDerivExpand,{All,{ℋ==ℋ[(x^0)],A,(Subscript[B, i_]),(Subscript[C, i_,j_])},Partial->x,Derivative->Prime},RR->{(Subscript[f_, \[Null],0])->f',(Subscript[f_, \[Null],0,a__])->(Subscript[f', \[Null],a])},
Expand,At[2],Post->SCContractDelta,RA->(Subscript[δ, i_,i_])->3,
SCTaylorSeriesByOrder,{At[2],{A,B,C},2},Post->SCCompactDeriv,
SCTensorContract,{At[2],{C,δ}},
SCIndexCommutator,{At[2],C},Collect->(Subscript[δ, i,j])]

The Ricci scalar is,

R==(g^(μ,ν))(Subscript[R, μ,ν])
SCMAF[%,SCIndexToSum,{All,{μ,{0,i}},{ν,{0,j}}},RA->{(g^(0,j))->(g^(0,i)),(Subscript[R, 0,j])->(Subscript[R, 0,i]),(Subscript[R, i,0])->(Subscript[R, 0,i])},
RA,{At[2],{(g^(0,0))==((-1+2 A-4 (A^2)+(Subscript[B, i]^2))/(a^2)),(g^(0,i))==((-(Subscript[B, i])+2 A (Subscript[B, i])+2 (Subscript[B, j]) (Subscript[C, i,j]))/(a^2)),(g^(i,0))==((-(Subscript[B, i])+2 A (Subscript[B, i])+2 (Subscript[B, j]) (Subscript[C, i,j]))/(a^2)),(g^(i,j))==((-(Subscript[B, i]) (Subscript[B, j])-2 (Subscript[C, i,j])+4 (Subscript[C, i,k]) (Subscript[C, k,j])+(Subscript[δ, i,j]))/(a^2)),(Subscript[R, 0,0])==-(((∇A))^2)+(∇^2)A-ℋ (Subscript[(Subscript[B, i]), \[Null],i])+(Subscript[A, \[Null],j]) (Subscript[(Subscript[C, i,i]), \[Null],j])-2 (Subscript[A, \[Null],j]) (Subscript[(Subscript[C, i,j]), \[Null],i])-(Subscript[(Subscript[B, i]^′), \[Null],i])-ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[A, \[Null],i])+2 (ℋ^2) (Subscript[B, i]^2)-ℋ (Subscript[B, j]) (Subscript[(Subscript[C, i,i]), \[Null],j])+2 ℋ (Subscript[B, j]) (Subscript[(Subscript[C, i,j]), \[Null],i])+(Subscript[B, [i,j]]) (Subscript[(Subscript[B, i]), \[Null],j])+2 ℋ (Subscript[C, i,j]) (Subscript[(Subscript[B, j]), \[Null],i])+2 (Subscript[C, i,j]) (Subscript[(Subscript[B, j]^′), \[Null],i])-2 (Subscript[C, i,j]) (Subscript[A, \[Null],i,j])+3 ℋ A'-6 A ℋ A'+A' (Subscript[(Subscript[B, i]), \[Null],i])-3 ℋ'+(Subscript[B, i]^2) ℋ'+3 ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[B, i]^′)-(Subscript[B, j]^′) (Subscript[(Subscript[C, i,i]), \[Null],j])+2 (Subscript[B, j]^′) (Subscript[(Subscript[C, i,j]), \[Null],i])-ℋ (Subscript[C, i,i]^′)+A' (Subscript[C, i,i]^′)+2 ℋ (Subscript[C, i,j]) (Subscript[C, i,j]^′)+((Subscript[C, i,j]^′)^2)-(Subscript[C, i,i]^(′′))+2 (Subscript[C, i,j]) (Subscript[C, i,j]^(′′)),(Subscript[R, 0,i])==2 ℋ (Subscript[A, \[Null],i])-4 A ℋ (Subscript[A, \[Null],i])+(Subscript[A, \[Null],i]) (Subscript[(Subscript[B, j]), \[Null],j])+(Subscript[((Subscript[B, [i,j]])), \[Null],j])-2 (ℋ^2) (Subscript[B, i])+4 A (ℋ^2) (Subscript[B, i])-ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[(Subscript[B, j]), \[Null],j])+(Subscript[B, j]) (Subscript[A, \[Null],i,j])-(Subscript[B, {i,j}]) (Subscript[A, \[Null],j])-2 ℋ (Subscript[B, j]) (Subscript[B, [i,j]])+(Subscript[B, [i,k]]) (Subscript[(Subscript[C, j,j]), \[Null],k])-2 (Subscript[B, [i,k]]) (Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],j])-2 (Subscript[B, [j,k]]) (Subscript[(Subscript[C, i,j]), \[Null],k])-2 (Subscript[C, j,k]) (Subscript[((Subscript[B, [i,k]])), \[Null],j])+ℋ (Subscript[B, i]) A'-(Subscript[B, i]) ℋ'+2 A (Subscript[B, i]) ℋ'-(Subscript[B, j]) (Subscript[B, {i,j}]^′)-(Subscript[C, i,j]^′) (Subscript[A, \[Null],j])-2 ℋ (Subscript[B, j]) (Subscript[C, i,j]^′)+(Subscript[C, i,k]^′) (Subscript[(Subscript[C, j,j]), \[Null],k])-2 (Subscript[C, i,k]^′) (Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],j])+(Subscript[C, j,j]^′) (Subscript[A, \[Null],i])-ℋ (Subscript[B, i]) (Subscript[C, j,j]^′)+(Subscript[C, j,k]^′) (Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])+2 (Subscript[C, j,[i,j]]^′)-4 (Subscript[C, j,k]) (Subscript[C, k,[i,j]]^′)-(Subscript[B, j]) (Subscript[C, i,j]^(′′)),(Subscript[R, i,j])==(Subscript[A, \[Null],i]) (Subscript[A, \[Null],j])-(1/2) (Subscript[(Subscript[B, i]), \[Null],k]) (Subscript[(Subscript[B, j]), \[Null],k])-(1/2) (Subscript[(Subscript[B, k]), \[Null],i]) (Subscript[(Subscript[B, k]), \[Null],j])-2 (Subscript[((Subscript[C, i,[j,k]])), \[Null],k])+(Subscript[A, \[Null],k]) (Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])+(Subscript[(Subscript[C, j,l]), \[Null],i]) (Subscript[(Subscript[C, k,k]), \[Null],l])+(Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],i]) (Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],j])-2 (Subscript[(Subscript[C, j,l]), \[Null],i]) (Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],k])+2 (Subscript[((Subscript[C, k,[j,k]])), \[Null],i])-(Subscript[A, \[Null],i,j])+2 A (Subscript[A, \[Null],i,j])+(Subscript[B, k]) (Subscript[((Subscript[B, {i,j}])), \[Null],k])-2 ℋ (Subscript[B, k]) (Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])+2 (Subscript[B, k]) (Subscript[(Subscript[C, i,j]^′), \[Null],k])-(Subscript[B, k]) (Subscript[(Subscript[B, k]), \[Null],i,j])+2 ℋ (Subscript[B, {i,j}])-4 A ℋ (Subscript[B, {i,j}])+(Subscript[B, {i,j}]) (Subscript[(Subscript[B, k]), \[Null],k])+4 (ℋ^2) (Subscript[C, i,j])-8 A (ℋ^2) (Subscript[C, i,j])+2 ℋ (Subscript[C, i,j]) (Subscript[(Subscript[B, k]), \[Null],k])-2 (Subscript[C, i,[j,k]]) (Subscript[A, \[Null],k])+4 ℋ (Subscript[B, k]) (Subscript[C, i,[j,k]])-2 (Subscript[C, i,[j,l]]) (Subscript[(Subscript[C, k,k]), \[Null],l])+4 (Subscript[C, i,[j,l]]) (Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],k])+4 (Subscript[C, i,[k,l]]) (Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],l])+4 (Subscript[C, k,l]) (Subscript[((Subscript[C, i,[j,l]])), \[Null],k])-4 (Subscript[C, k,l]) (Subscript[((Subscript[C, l,[j,k]])), \[Null],i])-(Subscript[B, {i,j}]) A'-2 ℋ (Subscript[C, i,j]) A'+2 (Subscript[C, i,j]) ℋ'-4 A (Subscript[C, i,j]) ℋ'-(Subscript[B, k]^′) (Subscript[(Subscript[C, j,k]), \[Null],i])+2 (Subscript[C, i,[j,k]]) (Subscript[B, k]^′)+(Subscript[B, {i,j}]^′)-2 A (Subscript[B, {i,j}]^′)+2 ℋ (Subscript[C, i,j]^′)-4 A ℋ (Subscript[C, i,j]^′)+(Subscript[C, i,j]^′) (Subscript[(Subscript[B, k]), \[Null],k])-A' (Subscript[C, i,j]^′)-(Subscript[C, i,k]^′) (Subscript[(Subscript[B, j]), \[Null],k])-(Subscript[C, j,k]^′) (Subscript[(Subscript[B, i]), \[Null],k])-2 (Subscript[C, i,k]^′) (Subscript[C, j,k]^′)+(Subscript[B, {i,j}]) (Subscript[C, k,k]^′)+2 ℋ (Subscript[C, i,j]) (Subscript[C, k,k]^′)+(Subscript[C, i,j]^′) (Subscript[C, k,k]^′)+(Subscript[δ, i,j]) (2 (ℋ^2)-4 A (ℋ^2)+8 (A^2) (ℋ^2)+ℋ (Subscript[(Subscript[B, k]), \[Null],k])-2 A ℋ (Subscript[(Subscript[B, k]), \[Null],k])-ℋ (Subscript[B, k]) (Subscript[A, \[Null],k])-2 (ℋ^2) (Subscript[B, k]^2)+ℋ (Subscript[B, l]) (Subscript[(Subscript[C, k,k]), \[Null],l])-2 ℋ (Subscript[B, l]) (Subscript[(Subscript[C, k,l]), \[Null],k])-2 ℋ (Subscript[C, k,l]) (Subscript[(Subscript[B, l]), \[Null],k])-ℋ A'+4 A ℋ A'+ℋ'-2 A ℋ'+4 (A^2) ℋ'-(Subscript[B, k]^2) ℋ'-ℋ (Subscript[B, k]) (Subscript[B, k]^′)+ℋ (Subscript[C, k,k]^′)-2 A ℋ (Subscript[C, k,k]^′)-2 ℋ (Subscript[C, k,l]) (Subscript[C, k,l]^′))-2 (Subscript[B, k]) (Subscript[C, k,{i,j}]^′)+(Subscript[C, i,j]^(′′))-2 A (Subscript[C, i,j]^(′′))}},Post->Expand,
SCTaylorSeriesByOrder,{At[2],{A,B,C},2},
SCContractDelta,At[2],SCDivEq->{All,(2/(a^2))},
RA,{At[2],(Subscript[δ, i_,i_])->3},Post->SCExpandIndexCommutator,
SCTensorContract,{At[2],C},Repeat->2,
RA,{All,{((Subscript[A, \[Null],i_])^2)->(((∇A))^2),(Subscript[A, \[Null],i_,i_])->(∇^2)A}},SCDivEq->{((a^2)/2),Distribute->False}]

Thank You for the Attention.